02_03_012

Tema 02: Dinámica del punto

Subtema 03: Rozamiento. Peraltes.

02_03_012

Origen: Marcos, 7, 3

Nivel: 2/3

Rozamiento, peralte, MCU

Un ciclista, cuya masa junto con la de la bicicleta es de 80 kg, corre por una carretera horizontal de anchura 8 m, y llega a una curva de radio medio 20 m. (a)¿Con qué velocidad máxima puede tomar el viraje sin patinar, si la fuerza de rozamiento máxima entre el neumático y el suelo es de 196 N? ¿Cuánto tendrá que inclinarse para poder dar la curva a esa velocidad? (b)Se quiere peraltar la curva de manera que un ciclista, por el centro de la carretera, no patine aunque el suelo esté muy resbaladizo mientras no supere los 20 km/h. ¿Qué ángulo debe usarse para el peralte? (c)Si además del peralte anterior se considera la misma fuerza de rozamiento de la primera parte, ¿entre qué límites de la velocidad se puede tomar la curva sin peligro de patinar? ¿En qué parte de la carretera son posibles esas velocidades?

S O L U C I Ó N:

(20 km/h= 5,56 m/s)

(A)

La fuerza que proporciona la aceleración normal necesaria para realizar el MCU en la curva es la de rozamiento. De acuerdo con la segunda ley de Newton, Fr = man = mv2/R , así que, como mucho, v2 = Fr*R/m ; el mayor R posible es el de fuera de la curva, de valor 20+(8/2) = 24 m, y para es valor resulta v2 = 196*24/80 ===> vmax = 7,668 m/s

Para hacer esa curva de 24 m de radio a esa velocidad de 7,668 m/s, el ciclista debe inclinarse hacia dentro de la curva de manera que se verifique que:

(ver problema 02_003_009)

Ese valor de la tg θ es, de acuerdo con lo visto en el problema citado, igual al coeficiente de rozamiento y, efectivamente, μ = Fr/N = 196/(80*9,8) = 0,25.

(B)

El peralte de la curva tiene como objetivo sustituir a la fuerza de rozamiento como generador de la aceleración normal. Dado que no hay fuerza de rozamiento, el ciclista debe ponerse perpendicular a la carretera, de manera que la reacción N de la misma se dirija según el eje de la bicicleta. En esas condiciones, puede escribirse la segunda ley de Newton para cada uno de los ejes:

Eje vertical: P – N cosθ = 0

Eje horizontal: N senθ = man = mv2/R


Despejando N en la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda se obtiene que , misma expresión que en el apartado anterior. Se observa así claramente que el peralte está sustituyendo exactamente a la inclinación del ciclista cuando la carretera era horizontal. Poniendo los valores del problema,

(C)

Para tener en cuenta el efecto del peralte y del rozamiento simultáneamente plantearemos la situación de acuerdo con D'Alembert, suponiendo la existencia de una fuerza ficticia de inercia, la “fuerza centrífuga”, y usaremos unos ejes ligados al plano del peralte; el peso se descompone en sus dos componentes, así como la Fc, y se observa que N v correspondientes componentes de P y Fc. La Fr, junto con la componente del P paralela al plano, ha iene dada por la suma de las de contrarrestar la correspondiente componente de Fc. Podrá escribirse por tanto que:


Fr + P senθ = Fc cosθ (eje paralelo al plano)

N = P cosθ + Fc senθ (eje perpendicular al plano)

La fuerza de rozamiento vale Fr = μ N = μ (P cosθ + Fc senθ)

La fuerza centrífuga vale Fc = mv2/R

De la primera ecuación: μ (mg cosθ + mv2/R senθ) + mg senθ = mv2/R cosθ

Eliminando m y multiplicando por R: R μ g cosθ + μ v2 senθ + R g senθ = v2 cosθ

Aislando v2: R μ g cosθ + R g senθ = v2 cosθ - μ v2 senθ = v2 (cosθ - μ senθ)

Y en definitiva v2 = Rg( μ cosθ + senθ) / (cosθ - μ senθ) ===>

v2= R*9,8(0,25*cos9º + sen9º) / (cos9º – 0,25 sen9º) = R*4,167 ===> v = 2,04*R½

En el borde interior: vmax = 2,04*(20-4)½ = 8,16 m/s = 29,38 km/h

En el centro: vmax = 2,04*(20)½ = 9,12 m/s = 32,84 km/h

En el borde exterior: vmax = 2,04*(20+4)½ = 9,99 m/s = 35,99 km/h

A menos de 29,38 km/h puede tomar el viraje por donde quiera. A más velocidad se ha de ir colocando más hacia fuera, no pudiendo en ningún caso sobrepasar la velocidad de 35,99 km/h, tomándola justo en el borde exterior de ese viraje peraltado.

Puede estudiarse fácilmente la influencia del rozamiento poniendo μ=0 en la fórmula de v2: v2 = Rg(senθ) / (cosθ) = Rg tgθ, que ya vimos en el apartado (B). De acuerdo con ella,

vmax = (Rg tgθ) ½, y en los tres puntos estudiados de la curva vale

En el borde interior: vmax = (16*9,8*tg9º) ½ = 4,98 m/s = 17,94 km/h

En el centro: vmax = (20*9,8*tg9º) ½ = 5,57 m/s = 20 km/h (como ya sabíamos)

En el borde exterior: vmax = (24*9,8*tg9º) ½ = 6,10 m/s = 21,97 km/h

Pueden compararse mejor los resultados obtenidos si se disponen en forma de tabla:


θ

μ

v

R = 16 m

R = 20 m

R = 24 m

Horizontal

con rozamiento

0

0,25

(μgR)½

6,26 m/s

7,00 m/s

7,67 m/s

Peraltada

sin rozamiento

0

(Rg tgθ)½

4,98 m/s

5,57 m/s

6,10 m/s

Peraltada

con rozamiento

0,25

[Rg( μ cosθ + senθ) / (cosθ - μ senθ)]½

8,16 m /s

9,12 m/s

9,99 m/s

Obsérvese que la última fórmula de la velocidad engloba a las dos anteriores, simples casos particulares de ella.

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