Anexo II
La transformación de Lorentz

Lo que buscamos es una transformación entre las coordenadas espaciales y la temporal de manera que un observador fijo y uno móvil vean la misma ecuación de la esfera de propagación de la luz, y que además sea compatible con la transformación de Galileo en un entorno de baja velocidad.

Ya hemos visto que si se aplica la transformación de Galileo a la ecuación de dicha esfera de luz vista por un observador fijo

x²+y²+z²=c²t²  (a) se obtiene que x'²+y'²+z'²+(u²t'²+2x'ut')=c²t'²    (b)

expresión que no tiene la misma estructura, ni mucho menos, que la anterior.

En realidad, lo que nos gustaría ver es, simplemente,

x'²+y'²+z'²=c²t'²    (c)

Observando la expresión (b) y comparándola con la (c), se puede pensar que la transformación de las variables z e y ha de ser trivial, como en la transformación de Galileo, ya que en ambas expresiones aparecen sin ningún cambio.

También puede observarse que nuestra transformación buscada ha de ser de primer grado en x y de primer grado en t, ya que se precisa de una velocidad constante de propagación de c.

De acuerdo con esas observaciones, ensayemos la transformación dada por las siguientes ecuaciones, en las cuales realmente sólo hacemos un cambio respecto a las de Galileo:

x' = x - ut ;  y' = y ; z' = z ;  t' = t + Qx   (d)

siendo Q un valor supuestamente constante a determinar.

Si aplicamos las relaciones (d) a la expresión (c) obtendremos que

x²-2xut+u²t²+y²+z² = c²t²+c²2tQx+c²Q²x²

Los términos cruzados en xt desaparecen de esta ecuación si hacemos que -2xut = c²2tQx , o sea,  que el valor de Q sea

Q = (-u / c²) quedando pues la ecuación anterior como

x²+u²t²+y²+z² = c²t²+c²Q²x²

que podemos ir modificando

x²(1-c²Q²)+y²+z² = t²(c²-u²)

y sustituyendo el valor de Q

x²(1-u²/c²)+y²+z² = c²t²(1-u²/c²)

Esta expresión es ya casi igual que (a)... basta con añadir a las variables x y t el adecuado factor de escala que las multiplica en esta última ecuación, de manera que  la transformación definida en (d) queda finalmente así:

x' = (x - ut)/(1-u²/c²)^1/2 ;  y' = y ; z' = z ;  t' = (t - ux/c²)/(1-u²/c²)^1/2

Si, como es habitual, utilizamos la notación   obtendremos la forma definitiva de la transformación de Lorentz:
 

x'=γ(x-βct) y'=y z'=z t'=γ(t-βx/c)

Dada la forma en que se ha construído, es evidente que esta transformación (o su inversa) logra el propósito de relacionar entre sí las ecuaciónes [13] y [14] como deseábamos, lo que también puede comprobarse directamente por sustitución...

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