Tema 03: Dinámica de los sistemas de puntos.	Subtema 5: Dinámica de rotación de un sólido rígido		03_05_006
Origen: Marcos, 8, 2 (modificado)	Nivel: UNI	Giro, rozamiento de rodadura
Estudiar el movimiento de rodadura, sobre una superficie horizontal, de un disco homogéneo de radio R y masa M, del que tira una fuerza horizontal F aplicada mediante una cuerda enrollada en otro disco (de radio r y masa despreciable) concéntrico y solidario con el anterior.

S O L U C I Ó N:

(A)

Al estirar de la cuerda con una fuerza F, el disco tenderá a deslizar hacia la derecha, lo que hará aparecer una fuerza de rozamiento contra la superficie, que le obligará a girar. Supongamos de momento que esa F_r necesaria para hacerlo girar sea inferior a la máxima fuerza de rozamiento estática (F_r)_max = μ N = μ m g, es decir, que estemos en el caso de rodadura sin deslizamiento. (μ es el coeficiente de rozamiento estático en este caso, y el punto P está en todo momento en reposo relativo respecto al suelo, siendo el centro instantáneo de rotación)

La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de traslación nos dice que:

F – F_r = m a

La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de rotación nos dice que:

F r + F_r R = ½ (mR²)α

La condición de que ruede sin deslizar exige en todo momento que:

a = R α

De la segunda ecuación y usando la tercera, puede escribirse que Fr + F_rR = ½ mRa ;

Poniendo el valor de la primera para el producto m*a tendremos:

Fr + F_rR = ½ R (F – F_r), de donde se puede despejar el valor de F_r , que resulta ser

Obsérvese que esa F_r puede variar desde F/3 (si r es cero, siendo entonces tal como se dibujó, hacia la izquierda) hasta -F/3 (si r=R, siendo entonces hacia la derecha). Y si r = R/2 se tendrá que F_r = 0.

Puede pensarse que ese cambio de sentido de la F_r pueda ocasionar algún cambio en el sentido de giro. Para aclararlo, calcularemos la aceleración a ver si tiene algún cambio de signo también:

, un valor siempre positivo. La menor aceleración es para r = 0 (a = 2F/3m) y la mayor se obtiene si r =R (a=4F/3m). Si r=R/2, resulta que a = F/m.

(B)

Veamos qué sucede si el rozamiento estático no es suficiente para proporcionar la fuerza de rozamiento necesaria para rodar sin deslizar. En este caso, el punto P deslizará respecto al suelo y habrá que tener en cuenta el rozamiento dinámico. La velocidad de P puede tener dos sentidos diferentes:

(B1)Si v_P > 0 se tendrá que a > α R, apareciendo una fuerza de rozamiento dinámico hacia la izquierda, en oposición a v_P. Si llamamos f a esa fuerza de rozamiento dinámico, tendremos que f = µ_k m g, donde µ_k es el coeficiente de rozamiento dinámico.

Las ecuaciones del movimiento son ahora las siguientes:

F – f = ma

F r + F_r R = ½ (mR²)α

a > α R ===>

(B1)Si v_P < 0 se tendrá que a < α R, apareciendo una fuerza de rozamiento dinámico hacia la derecha, en oposición a v_P. Si llamamos f a esa fuerza de rozamiento dinámico, tendremos que f = µ_k m g, donde µ_k es el coeficiente de rozamiento dinámico.

Las ecuaciones del movimiento son ahora las siguientes:

F + f = ma

F r - F_r R = ½ (mR²)α

a > α R ===>

(C)

Se deja a la curiosidad e iniciativa del lector el estudio de lo que sucedería si la cuerda se arrollase al revés, de manera que F trabajase “por debajo” del CDM del disco...

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