Tema 03: Dinámica de los sistemas de puntos.	Subtema 5: Dinámica de rotación de un sólido rígido		03_05_011
Origen: Burbano, 9, 16	Nivel: 3/3	Giro, esfera en rotación, rozamiento
(a) ¿Cuál es la condición que debe cumplir el ángulo de un plano inclinado para que un aro homogéneo ruede por él sin deslizar? (b) Realizad el mismo estudio para una esfera maciza y homogénea. (c)Calculad la aceleración del CDG en los dos casos anteriores. (d) El aro y la esfera ruedan y deslizan por un plano inclinado β grados respecto a la horizontal. Determinad la aceleración de sus CDG y las aceleraciones angulares de giro.

S O L U C I Ó N:

Para que el cuerpo ruede sin deslizar, deben cumplirse las siguientes condiciones/ecuaciones:

(1)La segunda ley de Newton para la traslación:

mgsenα – F_r = ma

(2)La segunda ley de Newton para la rotación: M = I α ===> F_r R = I α (mgsenα no provoca momento respecto del CDG)

(3)La condición de “no deslizamiento” exige que a = α R

(4)La condición (3) se cumplirá cuando el rozamiento sea suficiente para provocar exclusivamente el giro del cuerpo: 0 < F_r < (F_r)_max = μN (Se recomienda mirar el problema 03_05_006)

(A) Para un aro, cuyo momento de inercia vale I = mR² , tendremos que:

(1) mgsenα – F_r = ma

(2) y (3) F_r R = mR² a/R ===> F_r = ma , que al sustituirlo en la ecuación anterior resulta

mgsenα – F_r = F_r ===> F_r = ½ mgsenα

(4) ½ mgsenα < μN= μmgcosα ===> senα = 2μcosα ===> tg α <2μ para que el aro gire sin deslizar.

(B) Para una esfera, cuyo momento de inercia vale I = 2/5 mR², tendremos que:

(1) mgsenα – F_r = ma

(2) y (3) F_r R = (2/5)mR² a/R ===> F_r = (2/5)ma , que al sustituirlo en la ecuación anterior resulta

mgsenα – F_r = (5/2)F_r ===> F_r = (2/7)mgsenα

(4) (2/7) mgsenα < μN= μmgcosα ===> senα = (7/2)μcosα ===> tg α < 3,5 μ para que la esfera gire sin deslizar.

(C) Las respectivas aceleraciones serán:

a_aro = F_r/m = ½ gsenα ; a_esfera = 5F_r/2m = (5/7)gsenα

(D) Si además de rodar desliza es porque no se está cumpliendo la condición (4), lo cual sucede cuando la F_r iguala a la máxima (no tiene mucho sentido decir que la supera...), o, dicho de otra manera, cuando el ángulo no cumpla la condición establecida en el apartado anterior Las ecuaciones del movimiento quedarán ahora así:

(1)mgsenβ – F_r = ma

(2)F_r R = I α

(3)a ≠ α R

(4)F_r = (F_r)_max = μN = μ mgcosβ

A partir de (1) y (4) obtenemos el valor de la aceleración a = gsenβ - μ gcosβ válido tanto para el aro como para la esfera, ya que no ha intervenido en el cálculo el valor del momento de inercia.

De la ecuación (2) obtendremos las aceleraciones angulares de cada cuerpo:

Para el aro, μ mgcosβ R = mR² α ===> α_aro = (μgcosβ)/R

Para la esfera, μ mgcosβ R = (2/5) mR² α ===> α_esfera = 5(μgcosβ)/(2R)

Puede observarse que, tal como dice la ecuación (3), a ≠ α R. Por ejemplo, en el caso del aro escribiríamos por un lado gsenβ - μ gcosβ para la aceleración, y por otro R(μgcosβ)/R =μgcosβ para el producto α*R. Esos dos valores no pueden ser iguales (el primero es gsenβ menos el segundo...), y si los comparamos veremos quien es más grande:

a ??? α R

gsenβ - μ gcosβ ??? μ gcosβ ===>

gsenβ ??? 2μ gcosβ ===>

senβ ??? 2μcosβ ===>

tgβ ??? 2μ

En el apartado (A) vimos que para que no deslizase, tgβ <2μ, pero como ahora está deslizando, será lo contrario, es decir, tgβ > 2μ, y entonces a > α R, es decir, está bajando con más aceleración “de la debida” o está girando con menos α “de la que le tocaría” si no deslizase.

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