S O L U C I Ó N:
Sea una esfera hueca delgada (cascarón esférico) de radio r y espesor t.
Dividimos esa corteza esférica en bandas AB.
El elemento de masa situado en A crea en P una fuerza atractiva de valor F1. Su simétrico en B creará una fuerza F2, idéntica a la anterior en módulo. Por simetría, ambas fuerzas producen una resultante situada sobre la horizontal, dirigida pues hacia el centro de la esfera.
La banda circular AB tiene un espesor t, una anchura rdθ y una longitud 2π (rsenθ), de manera que su volumen será dV = t·rdθ·2π (rsenθ) =2π t r2 senθ dθ
Si la densidad del material es de ρ kg/m3, la masa de esa banda tendrá un valor de
dM = ρ dV = 2π t ρ r2 senθ dθ
Esa masa dM ejerce en P una fuerza sobre m, de la que sólo hemos de considerar su proyección horizontal:
Debemos ahora eliminar variables para poder integrar, así que analizaremos las relaciones existentes entre x, α y θ.
En la figura vemos que cos α = (R – rcos θ) / x (Ec. 2)
Aplicando el teorema del coseno, X2 = R2 + r2 - 2Rrcos θ (Ec. 3)
De ésta despejamos rcos θ = ( R2 + r2 - X2) / 2R (Ec. 4)
Para tener el valor de dθ derivamos la ecuación 3:
2xdx 2Rrsenθ dθ ==> senθdθ = x / Rr (Ec. 5)
Sustituimos
(4) en (2) :
Sustituimos este resultado y el valor de (5) en la ecuación (1):
La variable x toma todos los valores desde R-r hasta R+r, por lo que la fuerza total será
La generalización a una esfera maciza homogénea es inmediata: una esfera es la superposición concéntrica de muchos cascarones esféricos, y, siendo el resultado anterior válido para cada uno de ellos, lo será también para el conjunto.
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que
sustituyendo los límites inferior y superior resulta ser I = 4r, de
manera que la fuerza total será